线法二阶常微分方程组有限元分析的结点精度修正及其超收敛计算

黄泽敏; 袁驷

doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2021.06.S002

线法二阶常微分方程组有限元分析的结点精度修正及其超收敛计算

doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2021.06.S002

黄泽敏^,,
袁驷

清华大学土木工程系，土木工程安全与耐久教育部重点实验室，北京 100084

基金项目: 国家自然科学基金项目(51878383，51378293)

详细信息

作者简介:
袁　驷(1953−)，男，北京人，教授，博士，主要从事结构工程研究(E-mail: yuans@tsinghua.edu.cn)

通讯作者:
黄泽敏(1996−)，男，福建人，博士生，主要从事结构工程研究(E-mail: hzm18@mails.tsinghua.edu.cn)

中图分类号: O241.81
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出版历程
- 收稿日期: 2021-06-23
- 修回日期: 2022-02-16
- 网络出版日期: 2022-04-07
- 刊出日期: 2022-06-06

NODAL ACCURACY IMPROVEMENT AND SUPER-CONVERGENT COMPUTATION IN FEM ANALYSIS OF FEMOL SECOND ORDER ODES

HUANG Ze-min^,,
YUAN Si

Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Key Laboratory of Civil Engineering Safety and Durability of China Education Ministry, Beijing 100084, China

摘要

摘要: 采用$ m $次单元对线法二阶常微分方程组(ODEs)进行有限元(FEM)求解，其单元内部位移为$ m + 1 $阶收敛，而端结点位移收敛阶可达$ 2m $阶。单元能量投影(EEP)超收敛计算恢复的单元内部位移精度一般为$\min $$ (m + 2,2m)$阶，此收敛阶既受益于也受限于有限元端结点位移的精度。该文提出了一种修正EEP法(M-EEP)，利用EEP超收敛解，先对端结点位移进行修正，再用其恢复单元内部位移。广泛的数值试验表明：对端结点位移修正后的收敛阶可达$ 2m + 2 $阶，再次修复的单元内部位移始终可达$ m + 2 $阶收敛，摆脱了$ 2m $阶收敛精度的限制。对于线性元，修正后结点位移的精度翻倍，单元内部M-EEP位移亦摆脱了原FEM解2阶收敛精度的限制，升到3阶收敛，基本达到二次元的收敛精度，效果显著。
- 有限元法 /
- 二阶常微分方程组 /
- 超收敛 /
- 单元能量投影(EEP) /
- 修正的EEP法(M-EEP) /
- 有限元线法(FEMOL)
Abstract: Elements with degree $ m $ is used in finite element method (FEM) to solve the second order ordinary differential equations (ODEs) derived from the FEM of lines (FEMOL). The interior displacement of elements generally has a convergence order of $ m + 1 $, while the nodal displacements can achieve a convergence order of $ 2m $. The super-convergence computation using the element energy projection (EEP) method usually has a convergence order of $ \min (m + 2,2m) $, which benefits from the nodal displacements of a higher convergence order but also limits its accuracy by the nodal displacements of elements with lower degrees. In this paper, a modified EEP (M-EEP) method is proposed. With the EEP solution, the nodal displacement accuracy is improved first, and then the interior displacement of elements is recovered, which leads to a modified EEP solution. Numerical experiments show that improved nodal displacements can achieve a convergence order of $ 2m + 2 $, and the interior displacements of elements always have a convergence order of $ m + 2 $ without the constraint of order $ 2m $. For linear elements, the interior displacement of M-EEP solution does not have the limitation of second-order convergence from the traditional FEM solution and can achieve the remarkable third-order convergence, equivalent to the convergence order of quadratic elements.
- finite element method /
- second order ODEs /
- super-convergence /
- element energy projection /
- modified EEP method /
- finite element method of line

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图 1 求解域和FEMOL网格

Figure 1. Solution domain and FEMOL meshes

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图 2 求解域

Figure 2. Solution domain

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图 3 FEMOL网格

Figure 3. FEMOL mesh

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表 1 常系数问题端结点位移收敛阶

Table 1. Convergence orders of nodal displacement of constant coefficient problem

单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	有限元解		修正解
单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	误差$ e_{i,{\kern 1pt} \max }^h $	收敛阶ρ	误差$ \tilde e_{i,{\kern 1pt} \max }^h $	收敛阶ρ
1	4	3.68×10⁻³	−	2.38×10⁻⁴	−
	8	9.10×10⁻⁴	2.01	2.11×10⁻⁵	3.50
	16	2.27×10⁻⁴	2.00	1.40×10⁻⁶	3.91
	32	5.67×10⁻⁵	2.00	7.82×10⁻⁸	4.16
	64	1.42×10⁻⁵	2.00	4.76×10⁻⁹	4.04
2	4	5.62×10⁻⁵	−	1.03×10⁻⁵	−
	8	5.17×10⁻⁶	3.44	3.16×10⁻⁷	5.03
	16	3.36×10⁻⁷	3.94	5.34×10⁻⁹	5.89
	32	2.05×10⁻⁸	4.04	8.25×10⁻¹¹	6.01
	64	1.29×10⁻⁹	3.99	1.31×10⁻¹²	5.98
3	4	3.18×10⁻⁶	−	3.54×10⁻⁷	−
	8	9.71×10⁻⁸	5.03	3.37×10⁻⁹	6.71
	16	1.62×10⁻⁹	5.91	1.54×10⁻¹¹	7.78
	32	2.48×10⁻¹¹	6.03	5.92×10⁻¹⁴	8.02
	64	3.92×10⁻¹³	5.98	2.30×10⁻¹⁶	8.01
收敛阶		$ {{2}}{m} $		$ {{2}}{m}{{ + 2}} $

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表 2 常系数问题内部结点位移收敛阶

Table 2. Convergence orders of interior nodal displacement of constant coefficient problem

单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	有限元解		EPP解		M-EEP解
单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	误差$ e_{\max }^h $	收敛阶ρ	误差$ e_{\max }^{\text{*}} $	收敛阶ρ	误差$ \tilde e_{\max }^* $	收敛阶ρ
1	4	1.30×10⁻²	−	3.68×10⁻³	−	1.08×10⁻³	−
	8	3.54×10⁻³	1.88	9.11×10⁻⁴	2.02	1.08×10⁻⁴	3.31
	16	9.47×10⁻⁴	1.90	2.27×10⁻⁴	2.00	9.24×10⁻⁶	3.55
	32	2.57×10⁻⁴	1.88	5.67×10⁻⁵	2.00	7.07×10⁻⁷	3.71
	64	6.69×10⁻⁵	1.94	1.42×10⁻⁵	2.00	5.21×10⁻⁸	3.76
2	4	6.07×10⁻⁴	−	7.39×10⁻⁵	−	4.61×10⁻⁵	−
	8	1.02×10⁻⁴	2.58	6.63×10⁻⁶	3.48	3.04×10⁻⁶	3.92
	16	1.58×10⁻⁵	2.69	4.04×10⁻⁷	4.04	1.32×10⁻⁷	4.52
	32	2.16×10⁻⁶	2.87	2.28×10⁻⁸	4.15	5.02×10⁻⁹	4.72
	64	2.82×10⁻⁷	2.93	1.36×10⁻⁹	4.06	1.72×10⁻¹⁰	4.87
3	4	4.72×10⁻⁵	−	1.02×10⁻⁵	−	4.12×10⁻⁶	−
	8	4.65×10⁻⁶	3.34	4.21×10⁻⁷	4.60	1.44×10⁻⁷	4.84
	16	3.73×10⁻⁷	3.64	1.09×10⁻⁸	5.27	3.42×10⁻⁹	5.39
	32	2.83×10⁻⁸	3.72	2.20×10⁻¹⁰	5.64	6.58×10⁻¹¹	5.70
	64	1.97×10⁻⁹	3.85	3.90×10⁻¹²	5.82	1.14×10⁻¹²	5.85
收敛阶		$ {m}{{ + 1}} $		${ {{\rm{min}}(2} }{m},{m}{ { + 3)} }$		$ {m}{{ + 3}} $

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表 3 变系数问题端结点位移收敛阶

Table 3. Convergence orders of nodal displacement of variable coefficient problem

单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	有限元解		修正解
单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	误差$ e_{i,{\kern 1pt} \max }^h $	收敛阶ρ	误差$ \tilde e_{i,{\kern 1pt} \max }^h $	收敛阶ρ
1	32	1.54×10⁻⁴	−	8.76×10⁻⁷	−
	64	3.86×10⁻⁵	2.00	5.37×10⁻⁸	4.03
	128	9.66×10⁻⁶	2.00	3.32×10⁻⁹	4.01
	256	2.42×10⁻⁶	2.00	2.08×10⁻¹⁰	4.00
	512	6.04×10⁻⁷	2.00	1.30×10⁻¹¹	4.00
2	32	2.04×10⁻⁷	−	1.59×10⁻⁹	−
	64	1.26×10⁻⁸	4.02	2.46×10⁻¹¹	6.01
	128	7.83×10⁻¹⁰	4.00	3.84×10⁻¹³	6.00
	256	4.90×10⁻¹¹	4.00	6.01×10⁻¹⁵	6.00
	512	3.06×10⁻¹²	4.00	9.39×10⁻¹⁷	6.00
3	32	4.69×10⁻¹⁰	−	1.71×10⁻¹²	−
	64	7.28×10⁻¹²	6.01	6.64×10⁻¹⁵	8.01
	128	1.14×10⁻¹³	5.99	2.62×10⁻¹⁷	7.99
	256	1.78×10⁻¹⁵	6.00	1.02×10⁻¹⁹	8.00
	512	2.79×10⁻¹⁷	6.00	3.99×10⁻²²	8.00
收敛阶		$ {{2}}{m} $		$ {{2}}{m}{{ + 2}} $

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表 4 变系数问题内部结点位移收敛阶

Table 4. Convergence orders of interior nodal displacement of variable coefficient problem

单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	有限元解		EEP解		M-EEP解
单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	误差$ e_{\max }^h $	收敛阶ρ	误差$ e_{\max }^{\text{*}} $	收敛阶ρ	误差$ \tilde e_{\max }^*$	收敛阶ρ
1	32	7.45×10⁻⁴	−	1.54×10⁻⁴	−	7.27×10⁻⁶	−
	64	1.98×10⁻⁴	1.91	3.86×10⁻⁵	2.00	5.14×10⁻⁷	3.82
	128	5.14×10⁻⁵	1.95	9.66×10⁻⁶	2.00	4.88×10⁻⁸	3.40
	256	1.31×10⁻⁵	1.97	2.42×10⁻⁶	2.00	5.97×10⁻⁹	3.03
	512	3.31×10⁻⁶	1.99	6.04×10⁻⁷	2.00	7.38×10⁻¹⁰	3.02
2	32	1.12×10⁻⁵	−	2.10×10⁻⁷	−	5.68×10⁻⁸	−
	64	1.51×10⁻⁶	2.89	1.26×10⁻⁸	4.06	2.06×10⁻⁹	4.78
	128	1.96×10⁻⁷	2.94	7.83×10⁻¹⁰	4.00	6.97×10⁻¹¹	4.89
	256	2.36×10⁻⁸	3.05	4.90×10⁻¹¹	4.00	3.89×10⁻¹²	4.16
	512	2.98×10⁻⁹	2.99	3.06×10⁻¹²	4.00	2.44×10⁻¹³	4.00
3	32	2.58×10⁻⁷	−	3.51×10⁻⁹	−	1.10×10⁻⁹	−
	64	1.80×10⁻⁸	3.84	6.51×10⁻¹¹	5.75	1.97×10⁻¹¹	5.80
	128	1.19×10⁻⁹	3.92	1.11×10⁻¹²	5.88	3.31×10⁻¹³	5.90
	256	6.73×10⁻¹¹	4.14	2.32×10⁻¹⁴	5.58	6.95×10⁻¹⁵	5.57
	512	4.26×10⁻¹²	3.98	7.32×10⁻¹⁶	4.99	2.19×10⁻¹⁶	4.98
收敛阶		$ {m}{{ + 1}} $		$ {{{\rm{min}}(2}}{m},{m}{{ + 2)}} $		$ {m}{{ + 2}} $

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表 5 变系数问题端结点应力函数收敛阶

Table 5. Convergence orders of nodal stress function of variable coefficient problem

单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	有限元解		修正解
单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	误差$ e_{i,{\kern 1pt} \max }^h $	收敛阶ρ	误差$ \tilde e_{i,{\kern 1pt} \max }^h $	收敛阶ρ
1	4	1.44×10⁻²	−	6.21×10⁻³	−
	8	3.50×10⁻³	2.04	1.37×10⁻³	2.18
	16	1.22×10⁻³	1.52	2.71×10⁻⁴	2.33
	32	3.87×10⁻⁴	1.66	3.37×10⁻⁵	3.01
	64	9.27×10⁻⁵	2.06	2.58×10⁻⁶	3.70

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表 6 变系数问题内部结点应力函数收敛阶

Table 6. Convergence orders of interior nodal stress function of variable coefficient problem

单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	有限元解		EEP解		M-EEP解
单元次数$ m $	单元数$ {N_e} $	误差$ e_{\max }^h $	收敛阶ρ	误差$ e_{\max }^{\text{*}} $	收敛阶ρ	误差$ \tilde e_{\max }^* $	收敛阶ρ
1	4	4.44×10⁻²	−	3.59×10⁻²	−	3.07×10⁻²	−
	8	2.17×10⁻²	1.03	8.81×10⁻³	2.03	7.60×10⁻³	2.01
	16	1.04×10⁻²	1.07	1.88×10⁻³	2.23	1.66×10⁻³	2.19
	32	4.19×10⁻³	1.31	4.33×10⁻⁴	2.12	2.85×10⁻⁴	2.54
	64	1.42×10⁻³	1.56	9.83×10⁻⁵	2.14	3.85×10⁻⁵	2.89

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